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奈何从坐标基矢启程，步步树立起张量的重量、协变数和度规相容之间的关联？3月28日14时，《张向阳的物理课》二百八十期开播，搜狐首创东说念主、董事局主席兼奉行官、物理学博士张向阳走进香港科技大学玉溪隔热条PA66厂家，向港科大的师生们系统地先容了奈缘何矢量微积分的精神交融微分几何。先界说坐标线的切矢为坐标基矢，然后用对偶基矢的式树立起张量的刻画谈话，并用这套谈话通了克氏符的抒发式与度规张量的质这两大学问点，为不雅众树立起显著明了的微分几何图像。

界说对偶坐标基矢

为了给空间个刻画，东说念主们常常需要在空间中各个点上树立相应的坐标系与基矢，在本堂课中，张向阳摄取的是坐标基矢。设空间中点的位置矢量为，则与坐标系绑定的“坐标下基矢”界说为沿坐标线的切矢，举例沿坐标对位置矢量求取得的坐标基矢在体式上就不错记为

需要提防的是，位置矢量这观念在迤逦空间中是比拟依稀的，举例关于二维球面，如若把坐标原点取在球心处，那么位置矢量是存在于出二维球面除外的径向进取的。不外位矢微元dr依然落在球面的切空间中，这点不错通过镶嵌到三维胜仗空间下的球坐标系来探讨。记 （r，θ，φ）向的单元基矢辩认为e_r，e_θ，e_φ，那么在三维空间中与之相对应的坐标基矢为

关于二维球面，取后两个坐标基矢即可。

关于轻易矢量 ，不错用坐标下基矢与逆变重量线组的体式写成

由切矢界说出的坐标下基矢不定是正交的，为了野心出逆变重量，不错界说与 e_α 对偶的组上基矢 e^β，它们高傲正交归关系

双方同期点乘上基矢，就取得它相应的逆变重量

另面，还不错把 矢量V 按上基矢与协变重量的线组伸开

双方同期点乘下基矢，可取得它相应的协变重量

以上确认同个矢量既可由下基矢与逆变重量刻画，也可由上基矢与协变重量刻画。对二阶张量，相似不错写出多种等价伸开式

二个式子是 (2,0)型、三、四个式子是(1,1)型、五个式子是(0,2)型。

度规张量及其升降

在详情了坐标基矢以后，不错界说下基矢之间的内积为度规张量的协变重量：

探讨到位矢微元按下基矢伸开的所有正值是坐标微元

位矢微元自身求内积，就能取得线元

度规内容上承载了空间的几何质，字据度规的体式，能求出空间的克氏符和黎曼曲率张量，从而代入因斯坦场程中反解出度规的抒发式，这基本上即是广义相对论的考虑经由。有了度规，轻易两个矢量 U、V 的内积也被固定下来：

度规的个是升降重量的标的。字据协变重量的界说，

即协变度规简略把逆变重量降为协变重量。如若再把逆变度规界说为上基矢的内积

那么逆变度规也能把协变重量升为逆变重量

度规的二个是升降高下基矢。探讨到基矢自己是个矢量，有

二个等号是因为，将e_β 当作个矢量，它与 e_α 点乘后取得相应的协变重量，再与上基矢线组后，就回到了本来的矢量。同理有

这两式与度规升降重量标的的体式相似，但要提防基矢所佩戴的标的并不是指几个重量，而是指几个基矢。

先容了度规张量的两个后，张向阳回特出来解说刚刚用上基矢的内积界说逆变度规的理。在本课程的框架中，二阶张量的逆变或协变重量皆是界说为下基矢或上基矢前的伸开所有，而利费用规升降高下基矢的作用，不错发现

这么就解说了逆变度规如实不错被界说为上基矢的内积。还不错解说协变度规和逆变度规互逆

对二阶张量，度规相似不错进行标的的升降，比如关于型二阶张量

从后两式的伸开所有不错看出

张量的微分与梯度

之前是在个空间点上探讨张量，接下来考虑张量场 。关于张量场，异型材设备东说念主们很温雅它在空间中漫衍的变化情况，因为许多物理定律皆包含了微分运算。先来望望阶张量按逆变重量和下基矢伸开的情况

赶紧点 x 发生个渺小变化 dx^γ 后，字据莱布尼兹法例，张量的微分为

这里出现了两类变化源：类来自重量F^α自己玉溪隔热条PA66厂家，另类来自基矢 e_α 随场点更正而发生的变化。将上式与上基矢点乘，就取得微分的逆变重量

界说克氏符

那么逆变重量的协变数就不错写成

不外这里还留有个问题：下基矢的偏数在迤逦空间中并莫得风雅的界说，因为不同场点的矢量属于不同的切空间，需要平行移动到同个场点才调相减。

对此张向阳指出，数学上照旧解说了迤逦空间不错等距镶嵌到维的胜仗空间中，在镶嵌后，两个不同场点的矢量不错不经独特搞定径直相减，取得的差矢量也许会出到低维迤逦空间外，但再与相应的上基矢作念内积后，就能让协变数的效果回到迤逦空间中。克氏符自己并不是三阶张量，它并不高傲坐标变换法例。

如若改从协变重量 F_α 启程，则先对正交归关系

求偏，可得

有了这个关系式，再经过与逆变重量 F^α 访佛的过程，不错取得协变重量的协变数为

对二阶张量T，协变数的效果不错访佛地出来，有

张向阳随后强调，在本课程摄取的坐标基矢商定下

从而坐窝取得

也即是说，克氏符的两个下标的对称，这对应于空间挠。

张向阳先容张量的梯度 直播截图

刚出了张量的微分，它作为阶张量的竣工的基矢抒发式是

它不错看作念位矢微元与底下这个二阶张量的缩并

这个二阶张量被称为梯度张量，于是有

这确认协变数恰是梯度张量的重量。以上的还启发咱们，梯度的观念不仅适用于标量场，是不错广到轻易阶的张量场。张量求梯度后阶数会增大阶，再与位矢微元缩并后，就能取得同阶的张量微元。举例二阶张量T的梯度是个三阶张量

它与位矢微元点乘后取得二阶张量的微分

克氏符的度规抒发式

在前节中，克氏符是由“下基矢对坐标求偏，再与上基矢内积”界说出来的：

这抒发式几何酷爱酷爱显著，但在内容野心中时时不够径直，因为很难先把基矢对坐标的偏显式写出。为此，张向阳先容了克氏符的另个抒发式

这个抒发式只用野心度规对坐标的偏，在代数运算上加便。接下来解说这个抒发式。将下基矢的点乘代入协变度规中，对三项偏，辩认有

将前两式相加再减去三式，并期骗坐标基矢偏的对称，可得

将这效果代入本节开始先容的克氏符的抒发式中，可得

这么就回到了之前克氏符用对偶基矢写下的界说式。

张向阳考证克氏符的度规抒发式 直播截图

度规的梯度为

在取得克氏符的度规抒发式后，度规张量还有后个中枢质：与度规相适配的协变数然致度规张量的梯度为。底下解说这个质，对度规的协变重量求协变数

将度规和克氏符皆用相应的基矢抒发式代入

把度规举座当作张量，就取得

据了解，《张向阳的物理课》于每周周日中午12时在搜狐直播，网友不错在搜狐APP“关注流”中搜索“张向阳”，不雅看直播及往期竣工回放；关注“张向阳的物理课”账号，放哨课程中的“学问点”短；此外，还不错在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上，有瞻念看每期物理课程的精炼著作。

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